Page 77 - 10. SINIF MATEMATİK FAVORİ DEFTERİM

4. ÜNİTE: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER ÖZETİN ÖZETİ

Bir Karmaşık Sayının a+ib (a, b ∈ R) İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemin
Biçiminde İfade Edilmesi Kökleri İle Katsayıları Arasındaki İlişki
2
Sanal Sayı: Karesi -1 olan sayıya sanal (imajiner) sayı birimi a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere ax + bx + c = 0 denk-
2
denir ve i ile gösterilir. i = -1 veya i = ò-1 ile gösterilir. leminin kökleri x ve x olsun. Bu köklerin toplamı ve çarpımı
2
1
2
2
Örneğin; x + 1 = 0 denkleminde x = -1 olup gerçek sayı- ile denklemin katsayıları arasında aşağıdaki bağıntılar vardır.
2
lar kümesinde karesi -1'e eşit olan bir sayı bulunmadığından ax + bx + c = 0 denkleminde
2
x + 1 = 0 denkleminin gerçek sayılar kümesindeki çözüm
kümesi boş kümedir. x = b − + ∆ ve x = b − − ∆ ise
1
2a 2 2a
Örnek:
Kökler toplamı: x + = b − , Kökler Çarpımı: xx ⋅= c
x
Q 4 − = 4 ( 1)⋅− = 4 ⋅ − 1 2i= 1 2 a 1 2 a
2
Örnek: 2x - x - 3 = 0 denkleminin kökler toplamını ve kök-
1
Q − 100 = 100 ( 1)⋅− = 100 ⋅ − = 10i ler çarpımını bulalım.
Çözüm:
1
Q − 225 = 225( 1)− = 225 ⋅ −= 15i b − − − 1
( 1)
x + x = = =
Kökler toplamı 1 2 a 2 2
2
Karmaşık sayılar: i = -1 ve a, b ∈ R olmak üzere, a+ bi
biçiminde ifade edilen sayılara karmaşık (kompleks) sayı denir. Kökler çarpımı ⋅ xx 2 = c = −3
1
Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir. a 2
C = {z| z = a + bi ve a, b ∈ R, i = ñ-1 } Kökleri Verilen İkinci Dereceden Denklemin
z = a + bi yazılışına karmaşık sayının standart yazılışı denir. Yazılması
z = a + bi Q Kökleri x ve x olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk-
1
2
.
2
lem x - (x + x )x + x x = 0 şeklinde yazılabilir.
Karmaşık sayının Karmaşık sayının 1 2 1 2
reel (gerçek) kısmı sanal (imajiner) kısmı Kökler Çarpımı
denir ve Re(z) = a denir ve Im(z) = b ile x - Tx + Ç = 0
2
ile gösterilir. gösterilir.
Kökler Toplamı
Örnek: Kökleri x = -5 ve x = 3 olan ikinci dereceden denk-
1 2
i'nin (Sanal Birimin) Kuvvetleri: lemi yazalım.
4
2
2 2
0
i = 1 i = -1 i = i . i = (-1) (-1) = 1 Çözüm:
2
Kökler toplamı (T): x + x = (-5) + 3 = - 2 x - Tx + Ç = 0
1
2
2
2 3
5
3
1
i = ò-1 i = i . i = (-1) . i = -i i = i . i = (-1) (-i) = i Kökler çarpımı (Ç): x . x = (-5) . 3 = - 15 x + 2x - 15 = 0
2
2
1
22
2
2
Örnek: i ifadesinin eşitini bulalım. Örnek: x + mx + n = 0 denkleminin kökleri, x + px + k = 0
Çözüm: denkleminin köklerinden 3'er fazla ise m - p kaçtır?
2
22'nin 4 ile bölümünden kalan 2'dir. i 22 = i = -1 Çözüm:
2
x + mx + n = 0 denkleminde kökler toplamı:
2
Örnek: i -30 ifadesinin eşitini bulalım. x + x = -m ve x + px + k = 0 denkleminde kökler top-
2
1
lamı: (x - 3) + (x - 3) = -p'dir.
Çözüm: 1 2
x + x ) 6−= − p
2
Yani ( 1
-30'a 4'ün katı olan 30'dan büyük en küçük pozitif tam sayı 
− m
olan 32'yi ekleyelim. Buradan -m - 6 = -p ⇒ p - m = 6 bulunur.
2
i -30 = i -30 + (32) = i = -1 m - p = -6 olur.
Markaj Yayınları / 10. Sınıf Matematik 77