Page 61 - 10. SINIF MATEMATİK FAVORİ DEFTERİM

3. ÜNİTE: POLİNOMLAR ÖZETİN ÖZETİ

Polinomlarla Toplama Çıkarma İşlemi Polinomlarda Bölme İşlemi

Q Polinomlarda toplama ya da çıkarma işlemleri yapılırken Q P(x) = Q(x) . R(x) + K(x) eşitliğinde K(x) = 0 ise
dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanır ya da P(x) = Q(x) . R(x)'dir. Yani P(x), Q(x)'e tam bölünür.
çıkarılır.
3
5
3
2
Örnek: P(x) = x - 3x + x - 2 polinomu, Q(x) = x + 1
Q Örneğin; a, b∈R olmak üzere polinomuna bölüp bölümün derecesini bulalım.
.
m
5 P(x) polinomunun bir terimi a x , Q(x) polinomunun x - 3x + x - 2 x + 1
2
3
3
5
m
.
m
m
m
.
bir terimi b . x ise a x + b x = (a + b)x terimi 5 2 x - 3 → B(x)
2
P(x) + Q(x) polinomunun bir terimidir. - x  x
3
m
m
m
5 ax - bx = (a - b) x terimi P(x) - Q(x) polinomunun - 3x - 2
3
bir terimidir. ± 3x ± 3
1
Bölüm
NOT x - 3x + x - 2 = (x + 1) (x - 3) + 1 Kalan
5
3
3
2
2
Q Dereceleri farklı olan iki polinomun toplamının veya far- NOT
kının derecesi, derecesi büyük olan polinomun derecesine
eşittir. der[P(x)] = m ve der[Q(x)] = n ise æ P(x)ö
Q der[P(x)] = m, der[Q(x)] = n ise derç ç ÷ = m - n'dir.
÷
÷
5 m > n der [P(x) + Q(x)] = m ve der[P(x) - Q(x)] = m ç è Q(x)ø
olur.
Bölme İşlemini Yapmadan Kalan Bulma
NOT
4
2
3
Örnek: P(x) = - 8x + 6 x - 3x + 10 ve Q Bir P(x) polinomunun (mx + n) ile bölümünden kalanı bul-
-n
3
2
Q(x) = -5x + 6x + x - 2 polinomları veriliyor. mak için mx + n = 0 ve x = m , m ≠ 0 hesaplanarak
Buna göre P(x) + Q(x) ve P(x) - Q(x) işlemlerini yapalım. æ n ö ÷ yazılarak bulunur.
P(x) polinomunda P ç- ÷ ÷
ç
ç
è
Çözüm: mø
2
3
3
2
4
4
3
2
P(x) + Q(x) = -8x + 6x - 3x + 10 - 5x + 6x + x - 2 Örnek: P(x) = x - 3x + 2x + 2 polinomunun x-2 ile bölü-
2
3
4
= -8x + (6 - 5)x + (-3 + 6)x + x + 10 - 2 münden kalanı bulalım.
3
2
4
= -8x + x + 3x + x + 8 x - 2 = 0 ⇒ x = 2
3
2
4
3
4
3
2
2
P(x) - Q(x) = -8x + 6x - 3x + 10 - (-5x + 6x + x - 2) P(2) = 2 - 3 . 2 + 2 . 2 + 2
4
2
3
= -8x + (6 + 5)x + (-3 - 6)x + (10 + 2) -x = 16 - 24 + 8 + 2 = 2 olur.
3
2
2
3
4
= -8x + 11x - 9x - x + 12 Örnek: P(2x + 1) = x + 2x - x + 1 polinomu veriliyor.
Buna göre P(x + 2) polinomunun x + 1 ile bölümünden elde
edilen kalanı bulalım.
Polinomlarda Çarpma İşlemi
Çözüm:
Q P(x) ve Q(x) polinomlarının çarpımı bulunurken P(x)'in
x + 1 = 0 ⇒ x = -1 olup
bütün terimleri Q(x)'in bütün terimleri ile çarpılır ve elde
P(x + 2) = P(-1 + 2) = P(1) olur.
edilen terimlerin toplamı P(x) . Q(x) polinomunu verir.
x = 0 yazarsak P(2 . 0 + 1) = P(1)
Q der[P(x)] = m ve der[Q(x)] = n ise P(2x + 1) = x + 2x - x + 1
2
3
der[P(x) . Q(x)] = m + n olur.
.
2
3
P(2 . 0 + 1) = 0 + 2 0 - 0 + 1 ve P(1) = 1
Markaj Yayınları / 10. Sınıf Matematik 61