Page 16 - 10. SINIF MATEMATİK FAVORİ DEFTERİM

ÖZETİN ÖZETİ 1. ÜNİTE: SAYMA VE OLASILIK

kombİnasyon (SEÇİm) Bİnom Açılımı
n
Q n∈N olmak üzere (x+y) ifadesinin x in ve y nin kuvvetleri
Q A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine A küme- cinsinden açılımına binom açılımı denir.
sinin r elemanlı kombinasyonu denir.
1
x
Q n, r ∈ N, n ≥ r olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r (x+ ) y =+ y
n  
  2 2 2
elemanlı kombinasyonlarının sayısı C(n,r) ya da   ile (x+ ) y = x + 2xy + y

  
r  
n  
 
gösterilir. Cn(,r) =  = n! ile hesaplanır. (x+ ) y = 3 x + 3 3x y + 2 3xy + 2 y 3

  
r  
rn r!.( −
)!
(x+ ) y 4 = x + 4 4x y + 3 6x y + 22 4xy + 3 y 4
Örnek: A = {1,2,3} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerini bula-
lım. n n æ ö ÷ n æö ÷ n æö ÷
0 n
(x+ ) y = ç ç ç è ø ÷ ÷ xy +ç n 0 ç ç ç ç èø ÷ x ÷ n 11- y +×××+ç ç ç ç èø ÷ ÷ x y
1 ÷
0÷
n÷
2 elemanlı alt kümeleri
Kombinasyon
{1,2} {1,3} {2,3}
Binom Açılımının Özellikleri
3!
C(3,2) = = 3
(3-2)! . 2! n   n   n     n
 
 
n 0
  0
n
(x+ ) y =   xy +   x n−1 1   −n 22 + xy n
y .......
y + x



  
  
  
 
Q Kombinasyon ile farklı gruplamaların sayısı kastedilir.   0   1   2   n
Q Kombinasyonda kümenin elemanlarının sıralaması değil bu
elemanların seçilebilmesi önemlidir. Q Derece n ise; açılımında n+1 tane terim vardır.
Q n. dereceden olan açılımda her bir terimin üsleri toplamı
n'dir.
NOT
Q Açılım x'in azalan kuvvetlerine göre yazıldığında baştan
Q n, r ∈ N, n ≥ r olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin (r + 1). terim veya sondan (n + 1 - r). terim n x nr r y olur.
r elemanlı permütasyonlarının sayısı ile r elemanlı kombi-
r
nasyonlarının sayısı arasında P(n,r) = C(n,r) . r! eşitliği Örnek:
n  
p
.
 
8 4
()
vardır. C (n, r) = C nr; =   şeklinde de gösterilir. (3a+2b) ifadesinin açılımındaki terimlerden biri A a b
    (A∈R) tür. Buna göre p değerini bulalım.
r  
5 C (n,0) = 1 5 C (n,n) = 1 5 C (n,1) = n
p
Çözüm: (3a+2b) ifadesinin açılımındaki terimlerin üsleri top-
lamı p dir.
.
8 4
A a b terimine göre p = 8 + 4 = 12 olur.
Q n, r ∈ N, n ≥ r olmak üzere C(n,r) = C(n,n-r) eşitliği vardır.
n  
 
Q n elemanlı bir kümenin 0 elemanlı alt küme sayısı  = dir.
1
   
0  
n NOT
Q n elemanlı bir kümenin n elemanlı alt küme sayısı 1
n n
Q (x+y) ifadesinin açılımında
n
Q n elemanlı bir kümenin 1 elemanlı alt küme sayısı n 5 Katsayılar toplamı bulunurken değişkenler yerine 1
1
Q n bir kümenin eleman sayısı olmak üzere yazılır.
n n n 5 Sabit terim bulunurken değişkenler yerine 0 (sıfır)
n
n

... 2 olur. yazılır.
2
1
0 n
16 Markaj Yayınları / 10. Sınıf Matematik
MARKAJ YAYINLARI