Page 16 - 10. SINIF MATEMATİK DEFTERİM - GİRİŞ YAYINLARI

ÖZETİN ÖZETİ 4. ÜNİTE: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ Çözüm:
DENKLEMLER x + 6x + 1 + 8 - 8 = 0
2
2
2
Q a ≠ 0 ve a, b, c ∈ R olmak üzere ax + bx + c = 0 biçi- x + 6x + 9 - 8 = 0
mindeki denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denk- (x + 3) - 8 = 0
2
lem, a, b, c gerçek sayılarına ise bu denklemin katsayıları (x + 3) - 8 = 0 (İki kare farkı şeklinde yazalım.)
2
denir.
2
−
Q Denklemi sağlayan x sayılarına denklemin kökleri, köklerin ( + x3 ) ( ) =8 2 0
oluşturduğu kümeye ise denklemin çözüm kümesi denir.
⇒ ( ( + x 3 ) + 22 ) ( ( + x 3 ) − 2 2 ) = 0 Denklemin kökleri
2
Örnek: x + mx + 6 = 0 denkleminin köklerinden biri -2 ( +3 ) + 22 = ⇒= −2 2 3
−
x
x
0
olduğuna göre m değerini bulalım.
GİRİŞ YAYINLARI
−
x
( +3 ) − 2 2 = ⇒= 2 2 3'tür.
x
0
Çözüm: Denklemin kökü -2 ise denklemde x = -2 yazıldığında
eşitlik sağlanır demektir.
x = -2 yazalım. İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli
2
2
x + mx + 6 = 0 ⇒ (-2) + m (-2) + 6 = 0 Denklemlerin Köklerini Veren Bağıntı
2
-2m = -10 ax + bx + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Diskri-
m = 5 minant Yardımıyla Genel Çözümü:
2
Q a ≠ 0 için ax + bx + c = 0 denkleminin kökleri
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli b − b −  2 4ac formülü ile bulunabilir.
Denklemlerin Kökleri Ve Çözüm Kümesi x, = 2a
12
2
1. Çarpanlarına Ayırma Yöntemi İle Denklem Q b - 4ac ifadesine denklemin diskriminantı denir ve ∆
Çözümü: (Delta) ile gösterilir.
2
2
Q ax + bx + c = 0 denklemi çözülürken ax + bx + c ifa- Q ∆= − 4ac⇒ x , = b − ∆  formülü ile bulunur.
2
b
desi çarpanlarına ayrılır. Her bir çarpan sıfıra eşitlenerek 12 2a
2
denklemin kökleri bulunur. Örnek: x - 2x - 4 = 0 denkleminin köklerini bulalım.
2
Örnek: 3x - 18x = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım. Çözüm: a 1, b= = − 2 ve c = − 4'tür.
4 (1) −
=
∆= b − 4ac (− 2) − ⋅ ( 4) = 20
2
2
Çözüm:

2
3x - 18x = 3x(x - 6) olup 3x = 0 veya x - 6 = 0 olmalıdır. x = b − ∆  = 2  20 2 2 5 1 =  5
=
1,2
3x = 0 ⇒ x = 0 ve x - 6 = 0 ⇒ x = 6 olur. 2a 2 2
x 1 1 = + 5 ve x = − 5 bulunur.
1
Çözüm kümesi {0, 6}'dır. 2
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerde
Köklerin Varlığı:
2. Tam Kareye Tamamlama Yöntemi İle Denklem a ≠ 0 için ax + bx + c = 0 denkleminde ∆ = b - 4ac
2
2
Çözümü: olmak üzere,
2
Q Tam kareye tamamlama yöntemi ile ax + bx + c = 0 Q ∆ > 0 ise denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü var-
2
denklemi çözülürken ax + bx + c ifadesi düzenlenerek b − ∆ 
veya terim eklenip çıkarılarak denklem içinde tam kare bir dır. Bu kökler, x = 2a dir.
1,2
bölüm elde edilir. İfade iki kare farkı özdeşliğinden yarar- Q ∆ = 0 ise denklemin eşit iki kökü veya iki katlı kökü var-
lanılarak çarpanlarına ayrılır ve çarpanlar sıfıra eşitlene- b −
rek çözüm kümesi bulunur. dır. Bu kökler, x = x = 2a dir.
1
2
Q ∆ < 0 ise denklemin gerçek kökü yoktur. Yani bu denkle-
2
Örnek: x + 6x + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
min gerçek sayılarda çözüm kümesi boş kümedir.
76 Giriş Yayınları / 10. Sınıf Matematik